常见矩阵及其性质
Ø 逆矩阵
设A是n阶方阵，若存在n阶方阵B使AB=BA=E，则称B是A的逆矩阵，并称A是可逆矩阵或称A为非奇异矩阵。
Ø 奇异矩阵
设A是n阶方阵，且A的行列式|A|=0，则称A为奇异矩阵。
=> 设A是n阶方阵，且A的行列式|A|≠0，则称A为非奇异矩阵。
=> A为可逆矩阵<=>A为非奇异矩阵。
=> A(n×n)为奇异矩阵<=>A的秩Rank(A)
=> A(n×n)为非奇异矩阵<=> A满秩，Rank(A)=n。
=> 若A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。
=> 若A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。
Ø 正定矩阵
定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有 z'Mz > 0，其中z' 表示z的转置，就称M正定矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。
正定矩阵的性质：
1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即 |A|≠0。
2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
3.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。
4.若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。
Ø 高斯矩阵
高斯矩阵是是单位三角矩阵中的一种，除了一列的系数以外，其他系数都是零。这类矩阵是高斯消去法中基本操作的矩阵体现，因此也叫做基元矩阵或高斯变换矩阵。
高斯矩阵的逆仍然是高斯矩阵。一个高斯矩阵的逆是将其非对角线上元素加上负号后得到的矩阵。
Ø 置换矩阵
定义：设P 是一个 m×n 的 (0,1) 矩阵，如 m≤n且 PP′=E，则称 P为一个 m×n的置换矩阵。其中P′是P的转置矩阵，E是m阶单位方阵。
当 m≦n时，一个 m×n 的(0,1) 矩阵P为置换矩阵的充要条件是P的每一行恰有一个 1，每一列至多一个 1。
置换矩阵是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1，其余的系数都是0。在线性代数中，每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素（n维空间的基）的置换。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时，所得到的是原来矩阵的横行（置换矩阵在左）或纵列（置换矩阵在右）经过置换后得到的矩阵。
Ø 共轭转置矩阵
一个矩阵A的共轭转置矩阵A*=A取转置运算后得到A’，再对A’所有元素取共轭运算。
Ø 正规矩阵
与自身的共轭转置矩阵A*可交换的矩阵，也即AA*=A*A，则矩阵A称为正规矩阵。
Ø 酉矩阵
定义：若n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。显然酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广。
一个简单的充分必要判别准则是：方阵U的共轭转置乘以U等于单位阵，则U是酉矩阵。即酉矩阵的逆矩阵与其共轭转置矩阵相等。
酉矩阵的相关性质：设有A，B矩阵
（1）若A是酉矩阵，则A的逆矩阵也是酉矩阵；
（2）若A，B是酉矩阵，则AB也是酉矩阵；
（3）若A是酉矩阵，则|detA|=1；
（4）A是酉矩阵的充分必要条件是，它的n个列向量是两两正交的单位向量。
Ø 正交矩阵
定义：如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A′A=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵， 若A为正交阵，则满足以下条件:
1) AT是正交矩阵
2) AA′=A′A=E
3) A的各行是单位向量且两两正交
4) A的各列是单位向量且两两正交
5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
6) |A| = 1或-1
定理：
1. 方阵A正交的充要条件是A的行（列) 向量组是单位正交向量组；
2. 方阵A正交的充要条件是A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3. A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
4. A的列向量组也是正交单位向量组。
5. 正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
Ø 幂等矩阵
定义：若A为方阵，且A^2=A，则A称为幂等矩阵。
等价命题1：若A是幂等矩阵，则与A相似的任意矩阵是幂等矩阵；
等价命题2：若A是幂等矩阵，则A的AH,AT,A*，E-AH，E-AT都是幂等矩阵；
等价命题3：若A是幂等矩阵，则对于任意可逆阵T,T^(-1)·A·T也为幂等矩阵；
等价命题4：若A是幂等矩阵，A的k次幂仍是幂等矩阵
幂等矩阵的主要性质：
1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；
2.幂等矩阵可对角化；
3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr（A）=rank（A）；
4.可逆的幂等矩阵为E；
6.幂等矩阵A满足：A（E-A)=（E-A）A=0；
7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R（A）；
8.A的核N（A）等于（E-A）的列空间R（E-A）,且N（E-A）=R（A）。
考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：
1）设 A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1 = 0，且有：R(A1+A2) =R(A1)⊕R(A2)；N(A1+A2)=N(A1)∩N(A2)；
2）设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1=A2且有：R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2 )；N(A1 - A2 ) =N(A1)⊕R (A2)；
3）设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2 =A2·A1，则A1·A2 为幂等矩阵，且有：R (A1·A2) =R (A1)∩R (A2)；N(A1·A2 )=N(A1)+N(A2)。
参考百度、百科
更多详见：https://blog.163.com/yuyang_tech/blog/static/216050083201210302380799/